Undergraduate Course · Mechanics
张量分析 Tensor Analysis
面向连续介质力学与工程应用的基础桥梁课程：从物理图像与几何直觉出发， 建立指标记法、张量运算、张量场微积分与曲线坐标的统一语言。
课程定位
Why Tensor Analysis?
这不是一门脱离物理背景的纯数学课程。 课程强调张量语言如何自然地描述方向相关的物理量，以及它如何连接连续介质力学、 流体力学、固体力学与后续数值计算。
学习中始终贯穿四条线索：物理图像、工程直觉、数学表达、计算实践。 目标不是记忆大量公式，而是能够在坐标变换、守恒关系和复杂几何中识别并正确使用张量结构。
- 看见几何对象 从向量、面元、线性映射理解张量的物理与几何意义。
- 掌握统一记法 使用指标记法、Kronecker delta 与 Levi-Civita epsilon 高效表达运算。
- 处理张量场 理解梯度、散度、旋度及积分定理的张量形式。
- 面向工程应用 为连续介质力学及计算流体/固体力学建立数学语言基础。
你将建立的四种能力
Concept → Notation → Calculation → Application
物理与几何理解
从方向、基底、线性映射和面力等对象出发，理解“为什么需要张量”。
指标语言与变换
熟练使用指标记法进行缩并、置换、坐标变换及不变量分析。
张量场微积分
把梯度、散度、旋度、Gauss 定理和输运关系放到统一框架中理解。
工程计算表达
能将分量公式转换为清晰、可检查的计算步骤，并衔接 CFD / CSM 学习。
课程内容
Six Chapters · One Coherent Language
张量的物理与几何基础
从标量、向量、线性映射与力学对象出发建立张量概念。
指标记法与符号系统
建立 Einstein 求和约定及 Kronecker delta、Levi-Civita epsilon 符号的运算体系。
笛卡尔张量的变换、分解与不变量
理解坐标变换、对称/反对称分解及主值与不变量。
张量场的微分运算
系统处理标量场、向量场和二阶张量场的微分算子。
张量场的积分定理与输运关系
连接局部微分形式、整体积分形式与连续介质中的输运关系。
正交曲线坐标中的张量与微分算子
理解基底随位置变化后，张量分量与微分运算如何统一表达。
课程资源
Released after each lecture · Page updated 2026-09-01
课堂课件
按课堂进度逐章发布，突出物理图像、推导逻辑与关键公式。
- CH00 绪论 已发布 Updated: 2026-09-01
- CH01 张量的物理与几何基础 待发布 Updated: --
- CH02 指标记法与符号系统 待发布 Updated: --
- CH03 变换、分解与不变量 待发布 Updated: --
- CH04 张量场的微分运算 待发布 Updated: --
- CH05 积分定理与输运关系 待发布 Updated: --
- CH06 正交曲线坐标 待发布 Updated: --
交互式计算材料
用 Python 展示分量运算、坐标变换与张量微积分的可运行示例。
- CH01 张量的物理与几何基础 待发布 Updated: --
- CH02 指标记法与符号系统 待发布 Updated: --
- CH03 变换、分解与不变量 待发布 Updated: --
- CH04 张量场的微分运算 待发布 Updated: --
- CH05 积分定理与输运关系 待发布 Updated: --
- CH06 正交曲线坐标 待发布 Updated: --
推荐学习路径
A simple weekly workflow
课前预习
浏览教材小节与计算材料，先建立物理图像与问题背景。
课堂理解
关注“对象—记法—推导—应用”的逻辑链，而不是孤立记公式。
课后练习
通过显式分量计算与公式推导，检查指标、方向和符号是否一致。
联系力学
把所学语言对应到应力、速度梯度、守恒律与曲线坐标问题。
课程信息
Course at a glance
| 课程名称 | 张量分析 / Tensor Analysis |
|---|---|
| 课程编号 | U01G11011 |
| 教学学时 | 16 学时 |
| 面向学生 | 力学及相关工程专业本科生；适合准备进一步学习流体力学、固体力学与连续介质力学的学生。 |
| 课程语言 | 中文授课；保留常用英文术语与符号体系。 |
| 学习工具 | 课堂课件、交互式计算材料；按课堂进度逐章更新。 |